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本书主要介绍了数学分析中的内容，以构造数系和集合论开篇，逐渐深入到级数、函数等高等数学内容，举例详实，每部分内容后的习题与正文内容密切相关，有利于读者掌握所学的内容。本书在附录部分还介绍了数理逻辑基础和十进制，突出了严格性和基础性。

第一部分

第1章　引言　　3

第2章　从头开始：自然数　　12

第3章　集合论　　28

第4章　整数和有理数　　60

第5章　实数　　76

第6章　序列的极限　　101

第7章　级数　　124

第8章　无限集合　　147

第9章　R上的连续函数　　171

第10章　函数的微分　　204

第11章　黎曼积分　　217

第二部分

第12章　度量空间　　251

第13章　度量空间上的连续函数　　272

第14章　一致收敛　　286

第15章　幂级数　　310

第16章　傅里叶级数　　336

第17章　多元微分学　　352

第18章　勒贝格测度　　381

第19章　勒贝格积分　　401

附录A 数理逻辑基础　　421

附录B 十进制　　438

作者 | 陶哲轩（Terence Tao）

1975年出生。享誉世界的澳籍华裔天才数学家，智商超过220，被誉为“数学界的莫扎特”。12岁获得国际数学奥林匹克竞赛金牌（这项纪录至今无人打破），2006年获得数学界的诺贝尔奖——菲尔兹奖，2007年当选英国皇家学会会士。曾与本·格林合作解决了2300年前由欧几里得提出的与“孪生质数”相关的猜想。在调和分析、偏微分方程、组合数学、解析数论、算术数论等多个重要数学研究领域都取得了卓越成果。

译者 | 李馨

毕业于北京理工大学数学与统计学院，具有多年高等数学、线性代数及概率论授课经验。

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本书的内容来源于我 2003 年在加州大学洛杉矶分校给本科生讲授高等实分析系列课程时所用的讲义。该校的本科生普遍认为实分析是最难学的课程之一，其原因不仅仅在于学生都是第一次接触很多抽象的概念（比如：拓扑、极限、可测性等），还因为本课程对于严格性和证明的要求较高。正是由于意识到学习本课程存在这样的困难，教师在授课时往往面临着如下两种艰难的选择：要么选择降低课程的严格性，让学习变得更加容易；要么坚持本课程学习中的严格标准，但是这样大部分本科生在阅读学习材料时就会非常吃力，包括那些既聪明又有学习热情的学生。

面对这种进退两难的局面，我尝试采用一种稍不寻常的方法来教授本课程。按照通常的教学方法，实分析的导论部分都假定学生已经非常了解实数、数学归纳法、初等微积分和集合论基础等知识，并且很快进入课程的核心部分，比如极限的概念。正常情况下，当学生学到核心内容时，教材会介绍必需的预备知识，但是大部分教材都不会对这些预备知识进行详细的论述。例如，虽然学生能够直观地想象出实数和整数，并且对它们进行代数运算，但是很少有学生能够真正定义实数或者整数。在我看来，这真的是错失了一个非常好的机会。实分析、线性代数和抽象代数是学生最先学习的三门课程。通过对实分析的学习，学生能够真正地领悟到严格数学证明的精妙之处。因此，这门课程为我们提供了一个回顾数学基础知识的绝佳机会，特别是为我们正确全面掌握实数的本质提供了良机。

因此，本课程将按照如下的方式展开。第一周，我将给出分析理论中一些比较著名的“悖论”。在这些悖论中，分析理论中的标准法则（如：极限运算与和运算的交换法则，或者和运算与积分运算的交换法则）按照不严格的方式来应用，就会得到一些荒谬的结论，如 0 = 1。这就启发我们要回到这门课程的开端，甚至回到自然数的定义，并要求我们对所有基础理论从头进行验证。例如，给学生的第一个家庭作业就是（只利用皮亚诺公理）证...

度量空间的概念可推广为拓扑空间的概念。这个推广的思想是不把度量d看作基础对象；的确，在一般的拓扑空间中根本没有度量。代替度量的是开集族，这是扑空间的基础概念。在度量空间中，首先引入的是度量d，然后用度量先定义开球，再定义开集，而在拓扑空间中，恰恰是从开集的概念出发的。从开集出发的结果是，不必重新构造可用的球或度量（于是，并非一切拓扑空间都是度量空间），然而值得注意的是，依然可以定义上一节中的许多概念。

本书中完全用不着拓扑空间，所以只是相当简洁地作一介绍。对拓扑空更完全的研究当然可以在任何一本拓扑学教材中或者更深的分析学教材中找到。

亚里士多德逻辑是数理逻辑的一个分支，但不太有表现力，因为它缺少逻辑关系的概念，它没有“与”、“或”、“若…则”（尽管有“非”）等逻辑关系，而且它也没有像“≤”那样的二元关系。

像六合彩（“six degrees of separation”）之类的游戏也发生在类似的度量空间中

注意，利用公理2.1、公理2.2以及归纳法（公理2.5），我们很容易证明两个自然数的和仍旧是自然数。（为什么？）

作为引理2.2.2 与引理2.2.3的一个特别推论，我们得到n++ = n+1。（为什么？）

书籍介绍

本书主要介绍了数学分析中的内容，以构造数系和集合论开篇，逐渐深入到级数、函数等高等数学内容，举例详实，每部分内容后的习题与正文内容密切相关，有利于读者掌握所学的内容。本书在附录部分还介绍了数理逻辑基础和十进制，突出了严格性和基础性。